제곱과 제곱근 개념부터 계산까지
제곱이란?
제곱은 같은 수를 두 번 곱하는 것이에요. 5의 제곱은 5 × 5 = 25이고, 이걸 5²(오의 제곱)이라고 씁니다. 오른쪽 위의 작은 2는 "두 번 곱했다"는 표시예요.
정사각형의 넓이를 생각하면 이해가 쉬워요. 한 변이 5인 정사각형의 넓이는 5 × 5 = 25죠. 그래서 "제곱"이라는 말에 "네모(square)"라는 뜻이 담겨 있어요.
제곱근(√)이란?
제곱근은 제곱의 반대 계산이에요. "어떤 수를 제곱했더니 25가 됐을까?"의 답을 찾는 거죠. 답은 5입니다. 이걸 √25 = 5 라고 쓰고, 이 기호 √를 "루트"라고 읽어요.
제곱: 5 → 25 (5를 두 번 곱함)
제곱근: 25 → 5 (제곱하면 25가 되는 수를 되찾음)
딱 떨어지는 제곱근 (외워두면 편해요)
| 제곱근 | 값 | 이유 |
|---|---|---|
| √1 | 1 | 1 × 1 = 1 |
| √4 | 2 | 2 × 2 = 4 |
| √9 | 3 | 3 × 3 = 9 |
| √16 | 4 | 4 × 4 = 16 |
| √25 | 5 | 5 × 5 = 25 |
| √100 | 10 | 10 × 10 = 100 |
이렇게 정수로 딱 떨어지는 수(1, 4, 9, 16, 25 …)를 완전제곱수라고 불러요.
딱 떨어지지 않는 제곱근
모든 수의 제곱근이 정수는 아니에요. 예를 들어 √2는 1.41421356…처럼 소수점이 끝없이 이어져요. 이런 수는 어림값으로 씁니다.
- √2 ≈ 1.414
- √3 ≈ 1.732
- √5 ≈ 2.236
√2가 어느 정도인지 감을 잡으려면 "1²=1, 2²=4니까 √2는 1과 2 사이"라고 범위를 좁혀보면 돼요. 4에 가까우니 1.4 언저리라는 걸 알 수 있죠.
제곱근은 어디에 쓸까?
가장 유명한 건 직각삼각형이에요. 두 변이 3과 4인 직각삼각형의 빗변은 √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5가 됩니다(피타고라스 정리). TV·모니터의 대각선 크기, 지도상의 두 점 사이 거리도 모두 제곱근으로 구해요.
일반 계산기에 √ 버튼이 없다면, 곱셈으로 어림해 보세요. 1.4 × 1.4 = 1.96, 1.41 × 1.41 = 1.9881 … 이렇게 2에 가까워지도록 숫자를 조금씩 조절하면 √2의 값을 직접 좁혀갈 수 있어요.
제곱과 제곱근은 퍼센트·분수만큼 일상에서 자주 만나는 개념이에요. 위 계산기로 여러 수를 직접 제곱해 보면서 규칙을 느껴 보세요.